Peut-on prouver que 1+1=2 ?
Un argument de philo de bistrot souvent entendu… dans les bistrots est qu’on ne peut prouver que 1+1=2 par la logique, donc à quelque part il faut bien avoir “des croyances”. Or, on peut tout à fait prouver que la somme de un et un est deux en employant seulement la logique.
En fait, si on ne pouvait pas calculer avec la logique, les calculettes (et ordinateurs) devraient avoir eux aussi des “croyances” c’est-à-dire une liste de tous les calculs possibles avec la réponse dogmatiquement pré-programmée. Ou encore, la calculette pourrait contenir un petit lutin qui serait vraiment hyper bon en calcul mental. Dans un cas comme dans l’autre il serait difficile de faire entrer ça dans une calculette de poche.
La vérité est beaucoup plus simple: le calcul (1+1=2) est converti en signaux électriques qui équivalent à des valeurs logique (vrai ou faux). La calculette est elle-même constituée de circuit qui imitent des opérateurs logiques. Lorsque l’électricité passe à travers le circuit, une réponse (en format binaire) est recrachée à l’autre bout. Démonstration! (Les graphiques proviennent de cette page wikipédia).
Voici d’abord une petite table de vérité. Ces tableaux sont souvent employés en logique. Le 1 en binaire signifie aussi “vrai” en logique, ou pour un circuit, “le courant passe”. Le 0 signifie l’inverse: “faux” en logique, “le courant ne passe pas” en électronique.
| A | B | A et B | A xou B |
---------------------------------
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Ici j’ai mis “xou” pour un “ou exclusif”. C’est à dire que le courant passe seulement si un et un seul “interrupteur” est activé. Autrement dit, soit A, soit B, mais pas les deux. L’autre opérateur “et” est plus simple: le courant passe seulement si les deux interrupteurs sont activés (A et B). On peut construire une petite “machine” à partir de notre table de vérité:
On a ici une “machine” qui fonctionne uniquement par la logique. Elle est constituée d’un opérateur “ou exclusif” (la forme du haut qui ressemble à une coupe à vin sur le côté) et d’un “et” (la forme qui ressemble à la lettre D).
Le “S” est la somme finale du calcul. Le “C” est la retenue de l’addition.
On peut se demander pourquoi il y a une retenue alors qu’on calcule seulement 1+1=2. C’est que dans notre machine (et en binaire en général), on peut seulement avoir deux valeurs par chiffre: un ou zéro. Pour représenter le nombre 2, écrira donc 10. L’équation qui nous intéresse se transcrit ainsi par 1+1=10.
La solution finale sera sous forme CS, c’est-à-dire qu’elle est composée de C (le chiffre le plus à gauche) et S (l’autre chiffre, qui occupe la place des unités). Si C vaut 0 et que S vaut 1, la solution sera 01. En binaire, C et S sont des bits. Notre petite machine fonctionne avec deux bits. Voici un tableau des premiers chiffres en binaire:
|Décimal | Binaire|
+-----------------+
| 0 | 00 |
| 1 | 01 |
| 2 | 10 |
| 3 | 11 |
-------------------
On voit qu’avec deux bits on peut représenter les chiffres 0, 1, 2 et 3. Pour faire des calculs plus poussés il faudrait évidemment construire un circuit logique plus complexe. Mais pour 1+1=2, cela suffira.
Procédons maintenant à notre addition. On met la valeur 1 dans A et la valeur 1 dans B. En suivant le petit circuit, on voit que ceux deux valeurs arrivent à l’opérateur “ou exclusif” et sont dupliquées vers l’opérateur “et”. Comme on le voit dans la table de vérité, lorsque A et B valent 1, le “ou exclusif” va renvoyer un 0. Le “et” va donner un 1. Bref, S=0 et C=1. La réponse finale est donc 10 en binaire. Si on remet le tout en décimal (voir le tableau de conversion) on obtient… 2.
On a donc additionné 1 + 1 sans employer de connaissances préalables en mathématiques. Juste avec de la logique. Ça prend une page et demi d’explication pour y arriver, mais on peut le faire.
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Comment by Mathieu Charbonneau
Made Tuesday, 4 of August , 2009 at 8:55
Je ne suis pas certain du format de reponse auquel tu t’attends, mais voici une petite opposition a ton argument.
Contrairement a ce que tu dis avoir montre (pour ne pas utiliser ‘demontre’), il y a beaucoup de croyances implicites dans ton circuit logique. Celles-ci constituent en fait l’interpretation de ton modele. Le fait meme d’assumer que 10 c’est le binaire pour 2, (i.e. ta table de traduction), l’ordre dans lequel il faut lire le output du circuit ainsi que son input et l’interpretation logique du circuit sont tous des ‘croyances’ de l’agent qui interprete le circuit. En lui-meme, le circuit n’a pas prouve quoique ce soit, n’a pas execute un calcul mathematique. Par exemple, tu donnes toi-meme deux interpretations a ton circuit (calcul mathematique et calcul propositionnel).
C’est en ce type d’interpretation qu’on retrouve des croyances.
Cheers
Desole pour le pas d’accent, je suis dans un autre pays.
Comment by Tarik Ouazzani
Made Tuesday, 13 of October , 2009 at 14:54
on peut prouver ca mathématiquement:
a=1 b=1
.a=b
.a²=ab
.a²-b²=ab-b²
.(a-b)(a+b) = b(a-b)
.(a-b)(a+b) = b(a-b)
__________ = ______
(a-b) (a-b)
.a+b=b
.a=1 b=1
donc: 1+1=1
2=1
Comment by GL
Made Tuesday, 13 of October , 2009 at 16:06
Si a=b alors à la ligne 5 tu multiplies par 0. Et ensuite tu divises par 0. Faut pas se demander ensuite pourquoi on obtient un résultat qui n’a aucun sens. Au lieux de recopier des âneries, essaie de réfléchir un peu.
